Contoh Soal dan Jawaban tentang Peluang Kejadian Saling Bebas

Materi peluang kejadian saling bebas dipelajari di kelas 12 SMA. Untuk lebih memahami mengenai peluang kejadian saling bebas, maka perlu melakukan latihan soal.

Dalam Matematika , terutama di bidang probabilitas, dua peristiwa atau lebih disebut sebagai saling bebas jika satu sama lain tidak memberikan dampak.

Misalnya, ketika kita melemparkan sebuah koin dan sebuah dadu. Koin menunjukkan gambar dan dadu menunjukkan angka 6.

Maka, hasil lemparan koin tidak ada hubungannya sama sekali dengan lemparan dadu. Peristiwa ini disebut dengan kejadian saling bebas.

Rumus peluang kejadian bebas adalah P(A∩B) = P(A) × P(B).

Keterangan:

Peluang dari kejadian A dan B terjadi bersamaan adalah P(A ∩ B).

P(A) = Probabilitas terjadinya peristiwa A

P(B) = Probabilitas terjadinya B

Agar lebih mengerti tentang konsep probabilitas dari peristiwa yang saling bebas, silakan perhatikan contoh soal berikut ini.

Jawab:

- Mengidentifikasi elemen-elemen setiap kelompok:

E = {sekop as, hati as, berlian as, keriting as}, sehingga n(E) = 4

F = {sekop as, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Jack, Ratu, Raja}, sehingga n(F) = 13

E ∩ F = {sekop as} , n(E ∩ F) = 1

- Menentukan peluang masing-masing :

n(s) = 52

P(E) = n(E)/n(S) = 4/52 = 1/13

P (F) = 𝑛(𝐹)/𝑛(𝑆) = 13/52 = 1/4

𝑃(𝐸∩𝐹)=𝑛(𝐸 ∩𝐹)/𝑛(𝑆) = 1/52

𝑃(𝐸∩𝐹)=𝑃(𝐸)×𝑃(𝐹)

1/52 = 1/13 ×1/4

1/52 = 1/52

Karena 𝑃(𝐸∩𝐹) = 𝑃(𝐸) × 𝑃(𝐹) berlaku, dikatakan bahwa peristiwa E dan F adalah saling lepas atau independen satu sama lain.

2. Di sebuah kota terdapat satu unit mobil pemadam kebakaran serta satu unit ambulance yang selalu siaga saat kondisi darurat. Probabilitas bahwa mobil pemadam kebakaran dapat digunakan ketika dibutuhkan adalah 0,98, sementara probabilitas untuk ambulance adalah 0,92. Jika ada insiden bangunan kebakaran di kota ini, berapa kemungkinan kedua alat transportasi itu bisa berfungsi dengan baik?

Jawab:

Sebagai contoh, P(A) = Kesiapan Pamong Polisi = 0,98

Peluang ambulance tersedia P(B) adalah 0,92.

Kemungkinan bahwa kedua mobil itu dapat dinyatakan sebagai satu set adalah P(A ∩ B).

Peluang dari A dan B terjadi bersamaan adalah hasil kali peluang A dengan peluang B: P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

= 0,98 . 0,92

= 0,9016

Maka kemungkinan kedua kendaraan itu dapat digunakan kembali adalah 0,9016.

3. Di sebuah kota terdapat dua unit truk pemadam kebakaran yang bertindak secara mandiri tanpa saling bergantung. Probabilitas bahwa kedua truk ini siap saat dibutuhkan adalah 0,16, sementara probabilitas bahwa setidaknya satu dari mereka siap ketika dibutuhkan adalah 0,5. Hitunglah kemungkinan bahwa satunya lagi juga akan siap apabila diperlukan.

Jawab :

Misal:

Peristiwa pertama melibatkan mobil 1 yang disebut A, sementara ada juga kondisi di mana mobil tersebut tersedia yang dinyatakan sebagai B. Peluang bahwa keduanya terwujud yakni P(A ∩ B), diketahui sebesar 0,16. Di samping itu, probabilitas adanya setidaknya satu mobil yang siap digunakan ditentukan menjadi 0,5 atau P(A). Mengingat dua peristiwa ini bersifat independen, maka aturan berikut dapat dipakai:

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

0,16 = 0,5 x P(B)

P(B) = 0,32.

Jadi, peluang mobilitas tambahan yang siap saat dibutuhkan memiliki nilai 0,32.

4. Apabila A dan B merupakan kebebasan satu sama lain, buktikan hal tersebut dengan menunjukkannya

a. Ac dan B sama-sama independen.

b. A dan Bc juga saling bebas.

c. Ac dan Bc pun sama-sama independen.

Jawab:

a. Sebab Ac ∩ B = B – (A ∩ B) serta demikian

P(Ac ∩ B) = P(B) – P(A ∩ B)

Dan oleh karena itu, mengingat bahwa A dan B merupakan kejadian yang saling bebas, maka P(A ∩ B) sama dengan hasil kali dari P(A) dan P(B), yaitu P(A) x P(B). Sehingga

P(Ac ∩ B) = P(B) – P(A) P(B)

= P(B) × (1 - P(A))

= P(B) P(Ac )

= P(Ac ) P(B).

Itu mengartikan bahwa peristiwa B dan Ac adalah independen satu sama lain.

b. Karena A ∩ Bc = A – (A ∩ B) dan maka

P(A ∩ Bc) = P(A) – P(A ∩ B), dan sebab A dan B saling lepas, maka P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Demikianlah,

P(A ∩ Bc) = P(A) – P(A) P(B)

= P(A) (1 – P(B))

= P(A) P(Bc )

= P(A) P(Bc)

c. Sebab P(Ac ∩ Bc) = P((A ∪ B)c)

= 1 - P(A gabungan B)

= 1 – ( P(A) + P(B) − P(A ∩ B) )

= 1 – P(A) – P(B) + P(A) P(B)

= (1 – P(A)) (1 – P(B)) = P(Aᶜ) P(Bᶜ)

mengingat A dan B tidak bergantung satu sama lain.